Valeurs des fonctions zêta multiples: une introduction par

converge et sa somme est notée ζ(s). Dans le cas k = 1 il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres? Le produit ζ(s)ζ(s) de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de ζ(s), comme on le voit facilement en multipliant les séries: c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre ζ(s) est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit ζ(s)ζ(s) comme une combinaison linéaire de ζ(s): c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres ζ(s). Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les k-uplets s et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les s correspondant à des séries divergentes (avec s1 = 1). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.